Glockenspiel

Glockenspiel

Hier geht es etwas in die Physik um die Proportionen zu verstehen, die notwendig sind damit das Glockenspiel wohlklingend ist.

Schwierigkeit: mittel
Sie benötigen: Säge, Bohrer, etc., Gerät zum Stimmen von Musikinstrumenten (gibt es auch als App)

Wie entstehen die Töne?[Bearbeiten]

Würde das Glockenspiel am Kopfende angestoßen, so würden damit Logitudinalschwingungen erzeugt. Diese Schwingungen sind allerdings im allgemeinen zu hoch für das menschliche Ohr.

Statt dessen werden die Klangkörper an der Seite angestoßen, so dass Transversal-, Quer- oder Biegeschwingungen entstehen.

Wodurch wird die Tonhöhe bestimmt?[Bearbeiten]

Die Tonhöhe wird durch die Geometrie und das Material der Klangstäbe bestimmt:

Geometrie-Kenngrößen
l: Länge
χ: Trägheitsradius
χ=1/2 √(R2+r2) - (1)
R: Außenradius des hohlen Rundstabs
r: Innenradius
Materialkenngrößen
G: Torsionsmodul
ρ: Dichte

Wir benötigen noch die Schallgeschwindigkeit:

c=√(G/ρ) - (2)

Damit definieren wir den Beiwert mk mit

ωk=mk2 * (χ*c)/l2 - (3)

Die Schwingungsfrequenz liegt damit bei:

νk = ωk/2π = (mk2 * χ * c) / (2π*l2) = (mk2 * χ) / (2π*l2) * √(G/ρ) - (4)

Sie ist vom Beiwert mk abhängig, der für frei schwingende Stäbe Lösung folgender Gleichung ist:

1-cos(mk)*cosh(mk)=0 - (5)

Diese transzendente Gleichung kann nur numerisch oder graphisch gelöst werden. Die Lösung ist:

mk = (2k+1)/2 * π - (-1)k * βk - (6)

In Zahlen ausgedrückt:

k mk
1 3/2 π + 0,01765 4,73004
2 5/2 π - 0,00078 7,85320
3 7/2 π + 0,00004 10,99561
4 9/2 π - 0 14,13717

Man sieht, dass für große k der Wert gegen (2k+1)/2*π geht.

Mit k=1 wird der Grundton beschrieben, höhere k geben die harmonischen an.

Zusammengefasst ist die Tonhöhe von geometrischen und Materialeigenschaften bestimmt. Außerdem wirkt noch der Beiwert mk mit, der nur numerisch oder graphisch bestimmt werden kann.

Die Schwingungsknoten liegen bei

k x / l
1 0,2242 0,7758
2 0,1321 0,5000 0,8679
3 0,0944 0,3558 0,6442 0,9056
4 0,0735 0,2768 0,5000 0,7232 0,9265
5 0,0601 0,2265 0,4091 0,5091 0,7735 0,9399

und die Bäuche entsprechend dazwischen.

Harmonielehre[Bearbeiten]

Das Glockenspiel soll aus fünf Klangkörpern bestehen, die wohlklingend zueinander gestimmt sein sollen.

Zwei Töne werden als harmonisch empfunden, wenn ihre Frequenzen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen .

  • Oktave - 1:2 - c' : c“
  • Quinte - 2:3 - c' : g'
  • Quarte - 3:4 - c' : f'
  • große Terz - 4:5 - c' : e'
  • kleine Terz - 5:6 - c' : g'

Diesen Konsonanzen stehen die Dissonanzen gegenüber.

  • Sekunde - 8:9 - c' : d'
  • Septime - 8:15 - c' : h'

Sollen mehrere Töne eine Konsonanz bilden, so müssen sie dies paarweise tun:

  • Dur Dreiklang, d.h. c':e': g', Verhältnisse 4:5:6, große Terz:kleine Terz
  • 4-stimmiger Dreiklang, d.h. c':e':g':c“, Verhältnisse 4:5:6:8, große Terz:kleine Terz:Quarte

Für dieses Glockenspiel werden die Töne g':c“:e“:g“:c'" gewählt, also eine Folge aus Quarte, großer Terz, kleiner Terz und wieder einer Quarte.

Hier sind die Intervalle in der reinen Stimmung angenommen:

Name des Tones c' d' e' f' g' a' h' c“
Frequenzverhältnis zum Grundton 1:1 9:8 5:4 4: 3 3:2 5:3 15:8 2: 1
Frequenzverhältnis zum vorigen Ton 9:8 10:9 16:15 9:8 10:9 9:8 16:15

Die Verhältnisse 8:9 und 9:10 entsprechen ganzen Tonschritten (große Sekunde), das Verhältnis 15:16 jeweils halben Tönen (kleine Sekunde).

Ein Musikinstrumenten mit festen Tönen, wie dem Klavier, wird jedoch gleichschwebend temperiert gestimmt. Die Oktave wird in zwölf Halbtonschritte mit dem Frequenzverhältnis ν21=(12)√(2/1)=1,05946 unterteilt.

Das Glockenspiel kann jedoch in reiner Stimmung realisiert werden. Zur Berechnung der Frequenzen ist noch ein Ton zu definieren:

a' = 440 Hz - (7)

Womit sich als Schwingungsfrequenzen für dieses Glockenspiel ergeben:

Ton von a'=440 Hz Frequenz [Hz]
g' 10:9 396
c" 9:8, 16:15 528
e" 9:8, 16:15, 9:8, 10:9 660
g" 9:8, 16:15, 9:8, 10:9, 16:15, 9:8 792
c'" 2:1, 9:8, 16:15 1056

Herstellung der Rohre[Bearbeiten]

Zur Herstellung benötigen wir Rohre wie sie zum Beispiel im Baumarkt erhältlich sind. Hier werden Aluminiumrohre mit Außendurchmesser 2R = 12 mm und Innendurchmesser 2r = 10 mm verwendet.

Um die Länge der Klangkörper zu bestimmen ziehen wir Gleichung (4) heran. Allerdings sind die Materialkonstanten im allgemeinen unbekannt. Deshalb wird diese Gleichung etwas umgewandelt

νk * l2 = (mk2 * χ) / 2π * √(G/ρ) - (8)

Das Produkt aus Frequenz und dem Quadrat der Länge ist konstant. Es genügt also eine Röhre bekannter Länge zum Schwingen zu bringen und ihre Frequenz zu messen, um dieses Produkt zu bestimmen.

Um die ungefähre Länge des Testrohrs zu bestimmen, werden Literaturwerte herangezogen:

G = 2,6*1010 N/m2
ρ = 2,7*103 kg/m3

Aus der Geometrie wird χ = 3,91 mm berechnet und der Beiwert für die Grund­schwingung m1 = 4,73 übernommen.

Aus (8) wird ν1 * l2 = 43,2 m²/s bestimmt. Damit wird zur Realisierung einer Röhre die bei g' (396 Hz) schwingt, eine Länge von l = 33 cm benötigt. Mit dem Messgerät wird jedoch eine Frequenz von ν = 414 Hz gemessen, was einem Frequenz-Längenquadratprodukt von 45,11 m²/s entspricht. Das verwendete Rohr nutzt Aluminium mit zu den Literaturwerten leicht abweichenden Materialkonstanten.

Das Rohr muss jetzt so bearbeitet werden, bis das Gerät den korrekten Ton anzeigt. Über die gemessene Länge kann wieder das Produkt berechnet werden.

Mit diesem Wert werden die Längen der anderen Rohre bestimmt:

Ton Frequenz [Hz] berechnete Länge [cm]
g' 396 33,8
c" 528 29,2
e" 660 26,1
g" 792 23,9
c'" 1056 20,7

Die Rohre werden nun in dieser Form realisiert. Grundsätzlich können die Röhren nur noch höher gestimmt werden, indem sie an ihrem unteren Ende abgefeilt und abgeschliffen werden. Ein Tiefer-Stimmen ist nur sehr bedingt möglich, indem die Außenhaut in der Mitte der Röhre mit feinstem Schmirgelpapier abgedünnt wird. Deshalb werden sie einige Millimeter länger hergestellt und im Test dann etwas weiter mit einer Feile verkürzt.

Das Problem mit den Harmonischen[Bearbeiten]

Ein Blick zurück auf Gleichung (8) zeigt, dass die harmonischen Schwingungen der Rohre nicht mit den reinen Tönen zusammentreffen. Folgende Tabelle zeigt die Frequenzvielfachen der Rohre und die diesen Frequenzen am nächsten kommenden Töne, wobei der Grundton g' angenommen wird:

k νk1 nächster Ton zu g'
1 1,000 g'
2 2,757 2,667 = c'"
3 5,404 5,333 = c““
4 8,933 8,889 = a““

Damit liegt der erste Oberton des längsten Rohres, das den Ton g' erzeugt, bei 1090 Hz und sehr nah bei c'" (1056 Hz), was zu einer Dissonanz führt. Deshalb wird das kurze Rohr um weitere 2-3mm nach dem Gehör gekürzt um einen höheren, dem Oberton des längsten Rohres ähnlichen, Ton zu erzeugen.

Montage[Bearbeiten]

Die Schwingungsknoten sind jene Stellen am Rohr, die nicht schwingen. Hier werden die Rohre gehalten. Dazu wird bei jeweils 22,4% der Länge ein Loch in das Rohr gebohrt, durch das anschließend die Befestigungsschnur geführt wird.

Die Länge der Befestigungsschnüre wird so gewählt, dass der Anschlag für alle Rohre etwa in der Mitte, dem Schwingungsbauch, also jener Stelle mit der größten Schwingung, erfolgt.

Als Schlägel wird ein weiches Material gewählt, da ein sanfter Anschlag die Erzeugung von unerwünschten Obertönen verhindert.

Damit ist das Glockenspiel fertig.


Literaturverzeichnis[Bearbeiten]

1: Handbuch der Physik, VIII Akustik, Julius Springer, 1927,II. Erzeugung akustischer Swingungen

2: Lehrbuch der Physik, I, BSB B.G. Teubner, ,Musikalische Tonlehre

3: Wikipedia, , http://de.wikipedia.org, 2010,Reine Stimmung

4: Nachschlagebücher für Grundlagenfächer, Physik, VEB Fachbuchverlag Leipzig, 1987,Kuchling

5: Musikinstrumente selbst bauen, Kurt Schweizer, Susanne Bosshard, Otto Maier Verlag, 1983,